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2. 基礎方程式系

この節では理想気体を仮定した乾燥大気に対する 2 次元準圧縮系の基礎方程式 を示す. 凝結物質を含まないことをのぞき, これらの方程式系は Klemp and Wilhelmson (1978) と同様である.

2.1 変数の定義

モデルの独立変数は空間方向の座標変数 $x, z$ と時間方向の変数 $t$ である. モデルの予報変数はこれらの関数として定義される

$u$ : 速度の $x$ 成分
$w$ : 速度の $z$ 成分
$\Theta$ : 温位
$\Pi$ : 無次元圧力関数
である.

無次元圧力関数 (エクスナー関数) $\pi$ は圧力 $p$ を用いて以下のように定義され る.

\begin{displaymath}
\Pi \equiv \left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{R_{d}/c_{p}}
\end{displaymath} (2.1)

$p_{0}$ は地表面での気圧である. 温位 $\Theta$
$\displaystyle \Theta$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{R_{d}/c_{p}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{T}{\Pi}$ (2.2)

で与えられる. ここで $T$ は温度, $c_{p}$ は 定圧比熱, $R_{d}$ は乾燥空気の気体定数である.

2.2 基礎方程式

基礎方程式は, 基本場の静水圧の式, 運動方程式, 圧力方程式, 熱力学の式である. 基本場は水平一様な静止状態であるとし, 基本場の変数は上付きバー $(\bar{~})$ で表す.

2.2.1 静水圧の式


\begin{displaymath}
\DP{\overline{\Pi}}{z} = - \frac{g}{c_{p} \overline{\theta}}
\end{displaymath} (2.3)

基本場の密度 $\overline{\rho}$ は理想気体の状態方程式から 以下のように与えられる.
\begin{displaymath}
\overline{\rho} = \frac{p_{0}}{R_{d}}
\frac{\overline{\Pi}^{c_{v}/R_{d}}}{\overline{\theta}}
\end{displaymath} (2.4)

2.2.2 運動方程式


$\displaystyle \DD{u_{i}}{t} = - c_{p} \overline{\theta} \DP{\pi}{x_{i}}
+ \delta_{i3} g
\frac{\theta}{\overline{\theta}}
+ D_{u_{i}}.$     (2.5)

ここで $i=1,3$ $u_{1}=u, u_{3}=w$ である. 左辺の時間微分は以下のように表される.
$\displaystyle \DD{}{t} = \DP{}{t} + u_{i}\DP{}{x_{i}}.$     (2.6)

$D_{u_{i}}$ はサブグリッドスケールの乱流に伴う拡散項であり, 詳細は 第2.3節で述べる.

2.2.3 圧力方程式


$\displaystyle \DP{\pi}{t}
+ \frac{\overline{c}^{2}}{c_{p}
\overline{\rho} \over...
...ta}^{2}}
\DP{}{x_{j}}
\left(\overline{\rho} \overline{\theta} u_{j}\right)
= 0.$     (2.7)

ここで $\overline{c}$ は基本場の音速であり, 以下のように与えられる.
\begin{displaymath}
\overline{c^{2}} = \frac{c_{p} R_{d}}{c_{v}}
\overline{\Pi} \overline{\theta}
.
\end{displaymath} (2.8)

ここで $c_{v}$ は定積比熱である.

2.2.4 熱力学の式


$\displaystyle \DD{\theta}{t} = - w\DP{\overline{\theta}}{z} + D_{\theta}
.$     (2.9)

$D_{\theta}$ はサブグリッドスケールの乱流に伴う拡散項である.

2.3 サブグリッドスケールの乱流拡散

2.3.1 運動方程式中の拡散項

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで粘性拡散項は以下のように書ける.
$\displaystyle D_{u_{i}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \DP{}{x_{j}} \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \DP{}{x_{j}}
\left[
- K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}}
+ \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
+ \frac{2}{3} \delta_{ij} E
\right].$ (2.10)

ここで $K_{m}$ は運動量に対する乱流拡散係数であり, $E$ は サブグリッドスケールの乱流運動エネルギー
$\displaystyle E = \frac{1}{2}
\overline{(u^{\prime})^{2} + (w^{\prime})^{2}}$     (2.11)

である.

2.3.2 熱力学の式の拡散項

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで温位の粘性拡散項は以下のように書ける.
$\displaystyle D_{\theta}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \DP{}{x_{j}} \overline{u_{i}^{\prime} \theta}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \DP{}{x_{j}} \left(K_{h}\DP{\theta}{x_{j}}\right)
.$ (2.12)

ここで $K_{h}$ は温位に対する乱流拡散係数である.

2.3.3 乱流運動エネルギーの式

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで, 乱流エネルギーの時間発展方程式は以 下ように書ける.

$\displaystyle \DP{K_{m}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z}
\right)
- \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}}
\left(\DP{\theta}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{
\left( \DP{u}{x} \right)^{2}
+ \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
\right\}$  
    $\displaystyle + \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2}
\left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}
- \frac{K_{m}}{3}
\left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \Dinv{2}
\left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
+ \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
\right)
+ \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
+ \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}$  
    $\displaystyle - \Dinv{2 l^{2}} K_{m}^{2}$ (2.13)

ここで $C_{\varepsilon} = C_{m} = 0.2$, 混合距離 $l = \left(\Delta x \Delta z \right)^{1/2}$ とする.

(2.13) 式中の乱流エネルギー生成項と 乱流エネルギー消散項が釣合うとみなすことで, 乱流拡散係数を診断的に求めることができる.

$\displaystyle K_{m}^{2} =
- \frac{3 g}{\overline{\theta}}
\left(\DP{\theta}{z} ...
...\left( \DP{w}{z} \right)^{2}
\right\}
+ \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}$     (2.14)

但し速度の収束は零とみなした.


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SUGIYAMA Ko-ichiro 平成17年4月23日